回帰分析とは？目的と基本概念から具体例までわかりやすく解説

回帰分析とは

概要説明

回帰分析とは、目的変数(予測したい値)と説明変数(目的変数に影響を与える要因)の関係を分析する統計手法です。この手法を用いることで、説明変数が目的変数にどの程度影響を与えているかを数式で表すことができます。回帰分析の結果として得られる数式を「回帰式」と呼び、この式を用いて目的変数の値を予測することが可能になります。

具体例

例えば、あるレストランの売上を予測したい場合を考えてみましょう。ここで、売上(目的変数)に影響を与えそうな要因として、店舗の広告費(説明変数1)、立地環境(説明変数2)、メニュー種類数(説明変数3)などが考えられます。回帰分析を行うことで、「広告費が1万円増えると売上が○万円増加する」「立地環境が○%良くなると売上が△万円増加する」といった具合に、それぞれの説明変数が売上にどの程度影響を与えているかを数値で表すことができます。この結果を基に、売上を最大化するための最適な広告費や立地、メニュー構成を見つけ出すことが可能になります。

詳細分析

• 単回帰分析と重回帰分析の2種類がある
• 単回帰分析は1つの説明変数のみを用いる
• 重回帰分析は複数の説明変数を用いる
• 決定係数(R2値)が高いほど、モデルの当てはまりが良い
• 外れ値の影響を受けやすいため、データの前処理が重要

項目	詳細
回帰係数	説明変数が1単位増加したときの目的変数の変化量
切片	説明変数がゼロのときの目的変数の値
決定係数(R2値)	モデルの当てはまりの良さを0~1の値で表した指標

回帰分析の種類

単回帰分析 – 目的変数と説明変数が1つずつの場合

単回帰分析は、目的変数と説明変数がそれぞれ1つずつの場合に用いられます。例えば、広告費(説明変数)と売上高(目的変数)の関係を分析する際に活用されます。単回帰分析の式は以下の通りです。
y = a + bx
y: 目的変数、x: 説明変数、a: 切片、b: 回帰係数

重回帰分析 – 目的変数が1つ、説明変数が複数の場合

重回帰分析は、目的変数が1つで説明変数が複数ある場合に用いられます。例えば、売上高(目的変数)に対して、広告費、人件費、立地などの複数の要因(説明変数)の影響を分析する際に適しています。重回帰分析の式は以下の通りです。
y = a + b1x1 + b2x2 + … + bnxn
y: 目的変数、x1, x2, …, xn: 説明変数、a: 切片、b1, b2, …, bn: 回帰係数

注意点として、説明変数間に強い相関関係がある場合は多重共線性の問題が発生する可能性があります。

詳細な分析ポイント

• 目的変数と説明変数の関係性を事前に検討し、適切な種類を選択する
• 外れ値の影響を受けやすいため、データのクリーニングが重要
• 決定係数(R2値)が高ければ回帰式のあてはまりが良い
• 回帰係数の値が大きいほど、その説明変数の影響が大きい
• 回帰分析は相関関係を示すものであり、因果関係を証明するものではない

分析種類	目的変数	説明変数
単回帰分析	1つ	1つ
重回帰分析	1つ	複数
多重回帰分析	複数	複数

単回帰分析の基本式

単回帰分析の概要

単回帰分析は、1つの目的変数（予測したい値）と1つの説明変数（目的変数に影響を与える要因）の関係を分析する手法です。この分析では、目的変数と説明変数の関係を直線で近似し、その直線の式を求めます。この式を回帰式と呼び、以下のように表されます。

y = a + bx

ここで、yは目的変数、xは説明変数、aは切片、bは回帰係数を表します。回帰係数bは、説明変数xが1単位変化したときの目的変数yの変化量を示しています。

単回帰分析の具体例

例えば、広告費と売上の関係を分析する場合、売上を目的変数y、広告費を説明変数xとして単回帰分析を行うことができます。サンプルデータから求めた回帰式が以下の場合:

y = 15.84 + 1.096x

この式は、広告費がゼロのときの売上が15.84万円であり、広告費が1万円増えるごとに売上が1.096万円増加することを意味しています。

単回帰分析の詳細

• 単回帰分析は直線的な関係を仮定するため、実際のデータとの適合度が重要
• 決定係数R^2は回帰式の当てはまりの良さを0から1の範囲で示す
• 有意F検定やp値を用いて、回帰式の信頼性を評価する
• 外れ値の影響や多重共線性など、回帰分析の前提条件を満たすことが重要
• 因果関係の誤解に注意が必要(相関関係を示すのみ)

項目	詳細
回帰係数b	説明変数xが1単位変化したときの目的変数yの変化量
切片a	説明変数xがゼロのときの目的変数yの値
R^2	回帰式の当てはまりの良さを0から1で示す決定係数

重回帰分析の基本式

重回帰分析の概要

重回帰分析は、1つの目的変数(従属変数)と2つ以上の説明変数(独立変数)の関係を分析する手法です。単回帰分析が1つの説明変数しか扱えないのに対し、重回帰分析では複数の説明変数を同時に考慮できるのが大きな利点です。重回帰分析の基本式は以下の通りです。

y = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bnxn + ε

ここで、yは目的変数、x1, x2, …, xnは説明変数、b0は切片、b1, b2, …, bnは各説明変数の回帰係数、εは誤差項を表します。この式を用いて、各説明変数が目的変数にどの程度影響を与えているかを数値化することができます。

重回帰分析の具体例

例えば、ある商品の売上高(目的変数y)が、広告費(説明変数x1)、価格(説明変数x2)、立地(説明変数x3)に影響を受けているとします。この場合の重回帰式は以下のようになります。

売上高 = 10 + 2.5×広告費 – 1.2×価格 + 3.8×立地の良さ + ε

この式から、広告費を1単位増やすと売上高が2.5単位増加すること、価格を1単位上げると売上高が1.2単位減少すること、立地の良さが1単位良くなると売上高が3.8単位増加することがわかります。このように、各説明変数が目的変数にどの程度影響を与えているかを数値化できるのが重回帰分析の大きな利点です。

重回帰分析の詳細

• 説明変数間の多重共線性に注意が必要
• 変数選択が重要(変数減少法、変数増減法など)
• 過剰適合(過学習)のリスクがある
• 交互作用項を追加して、説明変数間の相互作用を考慮できる
• ダミー変数を用いて、カテゴリカル変数も説明変数に含められる

項目	詳細
決定係数(R^2)	モデルの当てはまりの良さを示す(0~1の値をとる)
VIF(分散拡大要因)	多重共線性の程度を示す(10以上で問題視される)
AIC(赤池情報量基準)	モデルの良さを示す情報量基準(小さいほど良い)

回帰分析の手順

回帰分析の概要

回帰分析は、目的変数(予測したい値)と説明変数(目的変数に影響を与える要因)の関係を数学的に表すことで、目的変数の値を予測する統計手法です。目的変数と説明変数の関係は回帰式という数式で表され、この式を用いて新しい説明変数の値から目的変数の値を予測することができます。回帰分析は、マーケティングや金融、製造業など様々な分野で活用されています。

単回帰分析の具体例

例えば、ある企業が広告費と売上の関係を分析したいとします。この場合、売上が目的変数、広告費が説明変数になります。過去のデータから回帰分析を行うと、次のような回帰式が得られたとしましょう。

売上 = 1.2 × 広告費 + 50

この式は、広告費を1単位(例えば1万円)増やすと売上が1.2単位(例えば1.2万円)増加し、広告費が0の場合の売上は50万円であることを示しています。この回帰式を使えば、新しい広告費の値から売上を予測することができます。

重回帰分析の詳細

• 説明変数が複数ある場合、重回帰分析を用います
• 重回帰式の一般形は次のようになります
• 目的変数 = 切片 + 回帰係数1 × 説明変数1 + 回帰係数2 × 説明変数2 + …
• 各説明変数の回帰係数は、他の変数を一定に保ったときの影響度を表します
• 多重共線性や外れ値への注意が必要です

指標	説明
R2値(決定係数)	モデルの当てはまり具合を0~1の値で表す。1に近いほど当てはまりが良い。
p値	帰無仮説が正しい確率。通常0.05以下なら有意と判断。
VIF(分散拡大要因)	多重共線性の程度を表す。10を超えると多重共線性が高い。

回帰分析の実例

広告費と売上の関係

回帰分析の代表的な例として、広告費と売上の関係を分析する場合を考えてみましょう。ここでは売上を目的変数、広告費を説明変数として設定します。回帰分析を行うことで、「広告費を1単位増やしたときの売上の変化量」が分かります。これにより、目標売上を達成するための最適な広告費を算出できるようになります。

具体例でみる回帰分析

架空の広告費と売上のデータを使って、実際に回帰分析を行ってみましょう。以下のデータは広告費(万円)と売上(万円)の関係を示しています。

広告費10万円で売上25万円、広告費20万円で売上40万円…といったデータがあります。

回帰式の導出と解釈

• まずデータをプロットすると、広告費と売上の間に正の相関関係があることが分かります。
• 次に最小二乗法によって回帰直線を求め、回帰式を導出します。
• たとえば回帰式が「売上 = 1.2 × 広告費 + 10」だとすると、これは「広告費を1万円増やすと売上が1.2万円増える」ことを意味します。
• また、切片の値10は「広告費がゼロのときの売上が10万円」ということを表しています。
• この回帰式を使えば、目標売上を達成するための最適な広告費を算出できます。

項目	値	説明
回帰係数	1.2	広告費1万円増加につき、売上が1.2万円増加
切片	10	広告費0のときの売上が10万円
決定係数(R2乗)	0.92	回帰式の当てはまりが92%と高い

まとめ

回帰分析の概要

回帰分析は、目的変数(予測したい値)と説明変数(目的変数に影響を与える要因)の関係を分析する統計手法です。この手法を使うことで、説明変数が目的変数にどの程度影響を与えているかを数式で表すことができます。この数式を用いて、新しい説明変数の値から目的変数を予測することが可能になります。

回帰分析の具体例

例えば、ある企業が広告費と売上の関係を分析したいとします。この場合、売上が目的変数、広告費が説明変数になります。回帰分析を行うと、「売上 = 1.5 × 広告費 + 50」といった回帰式が得られるかもしれません。この式から、広告費を10万円増やすと売上が15万円増加することがわかります。

回帰分析の詳細

• 単回帰分析と重回帰分析がある
• 決定係数(R2値)で当てはまりの良さを評価
• 多重共線性や外れ値に注意が必要
• 因果関係の解釈には注意を要する
• 前提条件を満たすデータが重要

項目	詳細
単回帰分析	説明変数が1つの場合
重回帰分析	説明変数が複数の場合
決定係数(R2値)	モデルの当てはまりの良さを0~1で表す